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整除:若整數“a” 除以大於0的整數“b”,商為整數,且餘數為零。 我們就說a能被b整除(或說b能整除a),記作b|a,讀作“b整除a”或“a能被b整除”。它與除盡既有區別又有聯繫。除盡是指數a除以數b(b≠0)所得的商是整數或有限小數而餘數是零時,我們就說a能被b除盡(或說b能除盡a)。因此整除與除盡的區別是,整除只有當被除數、除數以及商都是整數,而餘數是零。除盡並不局限於整數範圍內,被除數、除數以及商可以是整數,也可以是有限小數,只要餘數是零就可以了。它們之間的聯繫就是整除是除盡的特殊情況。
注:a or b作除數的其一為0則不叫整除。
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整除的一些性質為:
(1)如果a與b都能被c整除,那麼a+b與a-b也能被c整除。
(2)如果a能被b整除,c是任意整數,那麼積ac也能被b整除。
(3)如果a同時被b與c整除,並且b與c互質,那麼a一定能被積bc整除。反過來也成立。
整除有下列基本性質(GMAT數學題經常就此提問):
→ 若a|b,a|c,則a|b±c。
若a|b,則對任意c,a|bc。
對任意a,±1|a,±a|a。
若a|b,b|a,則|a|=|b|。
對任意整數a,b,b>0,存在唯一的整數q,r,使a=bq+r,其中0≤r。
若c|a,c|b,則稱c是a,b的公因數。若d是a,b的公因數,且d可被a,b的任意公因數整除則稱d是a,b的最大公因數。當d≥0時,d是a,b公因數中最大者。若a,b的最大公因數等於1,則稱a,b互素。累次利用帶餘除法可以求出a,b的最大公因數,這種方法常稱為輾轉相除法。又稱歐幾裡得演算法。
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整除的規律 (GMAT考試數學的重點)
整除規則第一條(1):任何數都能被1整除。
整除規則第二條(2):個位上是2、4、6、8、0的數都能被2整除。
整除規則第三條(3):每一位元上數字之和能被3整除,那麼這個數就能被3整除。
整除規則第四條(4):最後兩位能被4整除的數,這個數就能被4整除。
整除規則第五條(5):個位上是0或5的數都能被5整除。
整除規則第六條(6):一個數只要能同時被2和3整除,那麼這個數就能被6整除。
整除規則第七條(7):把個位數字截去,再從餘下的數中,減去個位數的2倍,差是7的倍數,則原數能被7整除。
整除規則第八條(8):最後三位能被8整除的數,這個數就能被8整除。
整除規則第九條(9):每一位元上數字之和能被9整除,那麼這個數就能被9整除。
整除規則第十條(10): 若一個整數的末位元是0,則這個數能被10整除。

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